皆さんご回答ありがとうございます。

ニュージーランドでしか収入が無く、二年ぶりの帰国だったのですが、Makiさんと同様の手続きが必要だったのだと思います。国保課では収入が無いという証明を確かに提出した記憶があるのですが、年金課では記憶があいまいです。おそらく手続きが抜けていたのだと思います。
市役所から、今からでも免除の申請が出来ると教えて頂いたので、下記にある申請書を郵送しようと思います。
https://www.nenkin.go.jp/service/kokunen/menjo/20150428.html

ありがとうございました。

同様の経験はありませんが、仕事で年金についていろいろ調べたことがあります。

一時帰国時とはいえ、住民登録をしたのなら国民年金は強制加入です。市役所に「お願い」すれば払わなくても済むというようなものではないです。
日本年金機構のHPにも下記のように書いてあります。
4　帰国した時の手続
.一時帰国などで短期間だけ国内に住所を有した場合（住民票への登録）でも、その期間については強制加入被保険者となりますので、手続きが必要になります。
リンク）
https://www.nenkin.go.jp/service/kokunen/kanyu/20140627-02.html

年金支払が免除または減免されるのは、正式に国民年金保険料免除の申請をして審査を受けて経済的困難などの理由が認められた場合です。年金機構は旧態依然のお役所なので書類がなければ何もできません。また、口頭でお願いしただけでは動けません。

どのような状況で年金を払わなくても良いと言われたのかわかりませんが、役所かトピ主さんのどちらかに何か思い違いがあったのではないでしょうか。

こんにちは。答えになってないと思いますが、私は30年ほど前にニュージーランドの永住権を頂きそれに伴い日本国の住民票を一時保留にいたしました。ですので国民年金などの支払い勧告などはありません。ニュージーランドに永住しているという事を証明できればもしかしたら支払いは免除されるかもしれませんね。そういう事なので私は日本のマイナンバーを持つことは出来ません。