回答にはなってませんが、以下関連トピックです。

https://www.stuff.co.nz/business/money/108029591/kiwis-overseas-could-miss-out-on-nz-super-under-proposed-law-change

NZ Super を受け取るには下記の条件を全てクリアしなければならないので、申請時にNZに住んでいない人は qualify しません。NZに住んでいるという意味は、"you normally live in NZ, and that’s where your home is." と定義されています。申請に必要なsupporting document のリストを見ても、国外居住者の申請は考慮されていないのが分かります。また申請後に Work and Income から面談に呼ばれる場合もあります。
下記のWork and Income のサイトを参考にしてください。

New Zealand Superannuation (NZ Super) overview

Who can get it
You may qualify for NZ Super if you:
- are 65 or over
- live in New Zealand, the Cook Islands, Niue or Tokelau when you apply
- have lived in New Zealand for at least 10 years since you turned 20
- have lived in New Zealand, the Cook Islands, Niue or Tokelau (or a combination of these) for at least 5 years since you turned 50.

When we say ‘you live’ or ‘you’ve lived’, we mean you normally live in NZ, the Cook Islands, Niue or Tokelau and that’s where your home is.

リンク）https://www.workandincome.govt.nz/eligibility/seniors/superannuation/superannuation-overview.html#null

ただし、既にqualify して、NZ Super を受け取っている人が国外に移住することはできます。受け取り金額は20-65歳の45年間のうちNZに住んでいた期間の割合で減額されるそうです。

Moving overseas if you get NZ Super or Veteran's Pension

How much you'll get
This depends on how long you lived in New Zealand between the ages of 20 and 65. It's calculated by the number of months that you lived in NZ during that time — up to a maximum of 540 months (45 years).

For example, if you lived in NZ for 25 years — 300 months — you'll get 300/540ths of your NZ Super. If you lived in NZ for 45 years you'll get the full rate that you're entitled to. The rate depends on whether you have a partner or not and your living arrangements.

You can't get the 'single, living alone' rate if you're living outside of NZ — instead you'll receive the 'single, sharing' rate, which is slightly less.

リンク）
https://www.govt.nz/browse/tax-benefits-and-finance/new-zealand-superannuation-and-the-veterans-pension/new-zeal/

以上は現時点での情報なので、トピ主さんが実際に65歳になる頃には規則が変更されている可能性が十分あります。しかし、受給可能とする居住年数を10年から25年に伸ばすという議論があるように、受給条件は厳しくはなっても緩くなることは（特にNZ市民ではない移民には）あまり期待できないようですね。

長くなってすみません。ご参考になれば幸いです。

＞申請のときNZに住んでいること
そうです。ニュージーランド国内からしか申請できませんし、申請にはWINZに出向いて年金担当者との面談もあり、必要書類をチェックされます。NZ国民とはちょっと手続きが違うので。イギリスなどSocial Security契約のある国は違うのかもしれませんが、日本とは契約がありません。
＞50歳以上になってから5年NZに住んでいること
現在の条件では、20歳を過ぎてから10年間、そのうち5年は50歳を過ぎてから、となっています。

トピ主さんが実際に年金が受け取れるようになる前に、条件が変わる可能性は非常に高いです。
去年すでに年金受給のための居住期間の延長の修正案が正式に出されています。
年金委員会からは2016に現行の10年を25年に延長という案が出されましたが、今回の修正案では20年です。
OECD（経済協力開発機構）に選ばれている国（先進国）の中で、移住者の年金資格に要される居住期間が平均26年であることも考慮されれば、今回の修正案が通る可能性は極めて高いと思います。
移民だけでなく、若いころからずっと海外で生活してきたNZ人にも厳しくなります。

上の方が↑詳しく書かれていますが、NZで受給を開始してから海外でNZ年金を受け取ることは可能です。
ただしNZに満期滞在（45年＝540か月）していない人は海外での受給額は減額されます。
例えば、65歳になった時点でNZに25年滞在していたら、居住期間は300か月となります。
現在の単身者の年金支給額は税引き後で週約$400（一人暮らしの場合）です。
海外で年金を受け取るのであれば、単身者のレートは適用されず、独身だけど住居はシェアしているレートになるので、300か月居住であれば、Single, sharingレート$370.03の約55%（約$203.51）が支給額になります。

私の知る限り、年金受給者は申請時にはWINZに行く必要があり、その後は内容確認の手紙が毎年届き宣誓とサインをして送り返します。
これはあくまでも年金以外の補助（住宅補助など）を受けていない場合です。

SNOWさん、HALさん、元SSNZさん、とても詳しく回答してくださりありがとうございました。やはりSuper申請時点ではNZに住んでいないといけないのですね。これでなんとなく将来のプランがはっきりしてきました。このまま定年まで働いて、その後日本に帰り母親と一緒に暮らし、母親が亡くなったら今度はNZの子供たちの近くに住んで一生を終えたいな・・・・という。
もちろん、それまで私も母もみんなが健康であればですけれども。

ありがとうございました。