問題となっている木は、隣家の敷地内にあるのですよね？
そうであれば、張り出した枝も含め、剪定などのメンテナンスは全て隣家の責任です。
処分についても同様です。
また、例えばフェンスがトピ主さんの敷地内（トピ主さん所有）であったとして、隣家の木の枝が強風で折れたりしてダメージを受けたりした場合にも、隣家の責任になりますし、目には見えなくても枝と同じだけ根も張り出しているということなので、地下のパイプなどに損傷を与える可能性もあります。
なので、木を所有する場合には、隣家に迷惑が掛からないようにメンテナンスをする義務を負うという事です。

いくらトピ主さんの敷地に枝が張り出しているとはいえ、木の持ち主の許可なく切らない方がいいですよ。
まずは隣家と話し合ってください。

ただ、いくら木の所有者にメンテナンスの義務があるとはいえ、はい、そうですか、とやってくれる隣家ばかりとは限りません。
剪定はしない、費用も払わない、という押し問答になるような場合には、地方裁判所に申請することもできます。
隣家の木の切り倒し又は剪定の裁判所命令には、例えば下記のような理由が必要です。
－any undue (excessive) obstruction of the applicant’s view
－any undue interference with the applicant’s ability to grow trees or crops
－any undue interference with the applicant’s enjoyment of their land because of falling leaves, flowers, fruit or branches, or by shade or interference with light, or
－any undue interference with the applicant’s drains or gutters caused by falling leaves, flowers, fruit or branches, or by tree roots.

https://www.consumer.org.nz/articles/trees-and-neighbours
こちらが参考になると思います。