通話はできるのに、データ通信ができない状況という事ですよね？

Vodafoneですが、同様の経験があります。その際はVodafone NZからProfileをダウンロードして設定しましたが、今確認したところ、SparkのサイトからiPhone 5sのプロファイルを見つけることができませんでした。

おそらく、今もJapan Travelのプロファイルが残っているかと思われるので、設定→一般→プロファイルから削除して、再起動してみてはいかがでしょうか。

それでだめならAPNの設定等を行う必要があるかもしれません。

https://www.spark.co.nz/help/mobile/device-help?page=device/apple/other-mobile/topic/internet/manually-set-up-access-point-name-apn/1

おそらくですが、スパーク用のＡＰＮの設定が必要だと思います。