子供って高校生ぐらいでしょうか?2番目の質問は本人に聞くしかない質問だと思いますが。
一般的な答えしか申し上げられませんが、日本でも同じだと思いますが、口座開設の手続き時に普通はオンラインバンキングにも同時登録して、それほど待つこともなく口座にアクセスできるようになります。ですので、お子さんに聞けばもうユーザーIDやパスワードを持っているのではないでしょうか?
ユーザーIDは銀行側が提供する場合もあれば、口座名義人が自分で決める銀行もあります。銀行によってそれぞれなのでANZがどちらかは知りません。
もしも、これからオンラインバンキングを申し込むなら、口座名義人本人が支店に直接出向いて申し込むことになると思います。