リクルート会社はNZにもありますが、基本的に「NZで合法に働けるビザを持っている人」が条件なので最低でもワークビザを持っていないと登録できません。
なので、「日本からワークビザなしで応募できるサイト」というのも、難しいと思います。
NZでは正しいビザを持たない人を雇った雇用主は罰せられるので、この「働けるビザ」を持っているか否かが非常に重要なのです。
ワーホリが比較的簡単に仕事に就けるのは、このためです。

また、NZの雇用主の多くが「NZ国内での実務経験」を重視する傾向もあります。
海外での経験は参考にはされますが、国内での経験のほうが断然有利です。
NZの就職活動では、リファレンスがとても重要になります。
トピ主さんの仕事ぶりなどを、通常は直属の上司から推薦してもらう事をリファレンスといい、応募先の雇用主が電話などで確認を取ります。
NZ国内での実務経験がないと、リファレンス入手ができません。

大学に通われるという事なので、学生ビザの「週２０時間までのパートタイムワーク」ができる条件を利用して、NZでの経験値を上げることをおすすめします。
同時に、トピ主さんも書いていますが「コネ社会」であることも事実なので、ネットワークを広げることも必要です。

それと、NZスタイルのCV（履歴書）は、色々なテンプレートが検索できますが、カバーレターとCVがワンセットです。書いたものは、念のためネイティブもしくは英語に堪能な人にチェックしてもらった方がいいと思います。
CVの良し悪し（内容だけでなく）が、第一審査である書類選考を通るかどうかの鍵なので。

こんにちは。就職活動は地元のKIwi でも難しいので、特に私たちのような英語を第二言語とする外国人にとっては至難の業に近いものがありますよね。私も経験したことがあります。
10年以上も前の話ですが、日系から地元の会社に転職しようとして、Work and income （職安）のリクルート活動のためのコースに通ったことがあります。そこでくどい程言われたのが、最初から自分がしたい仕事、所謂 dream job に就くことは運があるかどうか。一般的には色々な仕事を経験してスキルアップしながら、dream job に近づいていくとのことでした。
今の私の職場でも　派遣会社を通して短期契約で働く新卒の若い人たちの間でも、事務職などを経験して履歴書上で社会性や常識があるなど証明しながら、学位に合った分野の仕事に近づくというのが常習のようです。

トピ主さんのように技術職の方にはアドバイスにはなりませんが、一般的な就職活動としてご参考になれば幸いです。

お役に立つか分かりませんが、Kiwiの会社の人事でインターンをしていました。NZでの仕事の見つけ方について、記事を書いていますので、良かったら見てみてください。

https://hatarakus.jp/kaigai-shigoto-eigo-dekinai