「NZ国籍」を「日本のパスポート」に「エンドースメント」することはできないので（日本政府は多重国籍を認めません）「永住権」の事だとおもいますが、前回の経験では以下のようでした。

1. eVisaとLabelの２種類から選べる。前者は無料、後者は有料（$200程だったと思います）
2. eVisa保持者はNZ Immigration Serviceからの手紙（メールに添付される）をプリントアウトしパスポートと一緒に携帯しなくてはならない
3. eGateが使用可能なのはNZパスポートのみで他国籍発行のパスポートは使用不可

eVisaを取ってから一度日本に帰国しましたが別段税関で問題は起きませんでしたし、手紙のチェックもなし（ eGateは使えませんでした）

Labelが有料なのでeVisaにする方が多いようですが、常に手紙を持っていなくてはならないので多少面倒です。

https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport

上記のサイトで調べると今現在はLabelも無料なようですが、NZ Immigration Serviceは話す人によって言うコトがコロコロ変わるのでどうでしょうかね？

参考になれば幸いです