3年程前に$19キャリーオーバーというプランを購入。毎月一回、プリペイドから自動的に引かれます。

LINEが無料なのは、携帯電話会社として日本のLINEモバイルと契約している場合だけです。他の携帯電話会社（ニュージーランドの携帯会社）の場合は、当然通信料金がかかります。文字だけなら通信料も安いですが、音声だと使用量が大きいので、料金もかさみます。
図書館などの無料Wi-Fiを使えば、通信料金は無料です。

ありがとうございます。LINEは世界中無料だと思ってました。無知でした。

トピ主さんは＄19で使えるdataを全部使い切ったのでしょう。そのために、それ以上dataを使おうとすると使う度に料金がかかるのだと思います。自分が使用したdata量を調べることはできませんか？

LINEで通話やメールをしてもLINEは料金を請求してきません。世界中で無料です。ただし、あたりまえですがLINEはネットに繋がないと使用できないのでdataを使います。日本にいる人も同様です。みなさんドコモなどの契約している会社に通信料は払っていますよ。”LINEモバイル”の携帯を使っている一部の人たちだけが通信料金もただなのだそうです。
通信料金を無料にしたいなら、上の方がいうように無料wifi spotで使うようにすればよいと思います。

書き忘れましたが、もしdataを使い切ってしまったけれども次の更新日までにまだdataを使う必要があるなら、追加dataを買うプランは契約している通信会社にないですか？

例えば、vodafoneならFantastic Fridays Prepay Dealsを見ると追加dataが数ドルで売っています。自分のアカウントにログインして探してください。

利用している携帯会社のプリペイドプラン（Prepay Comboなどとも呼ばれます）を買っていますか？買っていなければ、Wifiに繋がっていない時に使うモバイルデータ使用料は携帯会社によって１MBあたり最高50セントかかったりします。
家や学校、勤め先にWifiがあってそれにつなげられるのならモバイルデーターをそれほど使うことはないと思いますが、そうでなければプリペイドプランを買ったほうが断然お得ですよ。
どこの会社のSIMを使っているのでしょう？