NZでは、anzさんが書かれている通り『GP.から総合病院（無料）』の流れです。ただ待ち期間が半年とかの場合もあり、長すぎて病状悪化、心配などで個人でスペシャリストに行く選択もあります。
やはり、スペシャリストの医療費は全額自己負担のため、高額になりますので、私の場合ですが、医療保険に入ってます。ちなみに歯科は医療保険加入の際、保障の有無は選択出来ますが、だいたいの場合保険料も高めになります。

医療保険も日本の任意医療保険に比べ保障内容や保険料（高い）も違いますが、NZだけでなく、たとえば海外（日本）で入院した場合の保障もあるもの（全額ではありませんが）などあります。

現在、日本にお住まいでまだ日本の医療保険など加入であれば、保険種類によっては海外でも保障されるものもあるので、内容を確認してから解約される方がよいかもしれませんね。

個人的な意見ですので、ご参考までに。

こんにちは。
私もニュージーランドに来るまではとても病院のことを心配していました。
そして、こちらではユニケアという任意保険に加入しています。
これまで、虫刺され、皮膚炎、扁桃腺の腫れ、目の不具など、一般的な症状では近くのGPに通い、どのGPでも完治しました。中にはあまり好きではない先生もいましたが、色々なGPに通院するたびに、気に入った先生を見つけ、そこに行くようにしています。
そして、治療のあとはユニケアに請求して、免責は差し引かれますが、いくらかは戻ってきます。
あと、鍼灸やPhysioなどもACCというのを適用すれば安く診てくれるところもあります。私は10回ほど通いましたが、ACC適用で無料でした。なので任意保険も使っていません。
但し、任意保険は持病や既症状は保険が下りません。あと、歯医者も全額負担しました。
大きな病気はGPでは対応出来ないかもしれません。それ以外は私は今まで困ったことはありませんでした。人によると思いますが、私は思っていたより何も心配はありませんでした。少しでも御参考になればと思います。

ご回答くださいましたお二方様、ありがとうございます。現地からこその情報に色々とても助かります。日本で加入している保険もありますし解約する前に色々確認すべきことや、また、現地での保険会社の例も大変参考になりました。NZへ移るのにとても不安なのが医療についてだったので本当にありがとうございました。