http://www.vodafone.co.nz/prepay/myflex/
↑
ここにあるように、Vodafoneのプリペイドプランはデータと通話のCarry over ができるので、残った分は翌月に繰り越されます。
プランが自動的に更新されるかは、そう設定されていれば更新されるはずです。

https://www.vodafone.co.nz/knox/login_handler.jsp
ここのページからMy Vodafoneに登録してログインすれば、今いくらクレジットが残っているのか、自分は今どのプランなのか、プランの期限はいつまでなのか、自動更新が設定されているのか、などなど、すべてチェックできます。
プラン変更なども簡単にできるので、My Vodafoneに登録するといいですよ。

携帯にもMy Vodafoneのアプリを入れておけば、アカウント管理が簡単にできるのでお薦めです。

なお、「＄20/月のプラン」と書いてますが、＄19/月の間違いですね。
最近始まった「My Flex Prepay」というのは、MIN、 DATA、 TXTの組み合わせを自分の好みで設定できて、すべて一番少ない組み合わせ(100MB+50MIN+50TXT)にすれば＄11/月で済みますね。もし、今のプランのMINが多すぎたり、Unlimited TXTがいらなかったりすれば、Flex Prepayにするといいと思いますよ。