洗濯機、冷蔵庫などの家電製品については、こちらは日本と電圧が違うのでそのまま使えないため、持ってこないほうがいいと思います。

トピ主さんは、お一人で来られるのでしょうか？

家具付き物件は、シティの中心部に多くあるスタジオ～2ベッドルームくらいの、学生、単身者またはカップル向けのアパートであれば見つかると思いますが、家族向けや一戸建てではかなり難しいと思います。

http://www.trademe.co.nz/Browse/CategoryAttributeSearchResults.aspx?search=1&cid=5748&sidebar=1&132=FLAT&selected135=7&selected136=89&134=1&135=7&136=89&216=0&216=0&217=0&217=0&153=Furnished&29=Apartment&122=1&122=0&123=1&123=6&59=0&59=0&178=0&178=0&sidebarSearch_keypresses=0&sidebarSearch_suggested=0

Trade Meというサイトで物件を検索できますので、参考になると思います。

電化製品は電圧の違いももちろん問題ですが、洗濯機に関しては日本とNZでは排水の方法が違いますので、変圧器を使ったとしてもこちらでは無理だろうと思います。
NZには床に洗濯機用の排水口がなく、代わりに洗濯機には中の水を汲み出すポンプ機能があります。我が家の場合は、水は洗濯槽より高い位置にある隣の流しに排水されます。
日本の普通の洗濯機は重力を使って床の排水口に水を落とすだけです。機械で水に圧力をかけているわけでもありません。

NZで家を売りたいor貸したい人や会社は、かなりの割合でTrade Meに物件を掲載しています。上の方がやっているように、furnished (家具付き）をキーワード欄に入れて良さそうな場所を検索してみてください。