数年前に同じ問題にあいました。その時は BNZ で対応できそうということを聞きましたが、結局、私はしばらく後に日本でチェックを日本円の現金に戻したため、こちらで換金することはありませんでした。

今はまた状況が変わっている可能性がありますが、とりあえず BNZ に行って聞いてみてはどうでしょうか。

トピ主です。
ここで回答して下さった方、直接メール送って下さった方々、どうもありがとうございました！

今後誰かのお役に立てるかもしれないので、結果をここに書いておこうと思います。

私が数年前に買った日本の銀行では、すでに販売も買取もしてないとの事でした。
質問にも書いたとおり、ANZでvisaのトラベラーズチェックは断られたものの、昨日別の用事でいつもと違う支店に行ったので、ダメ元で聞いてみたところ、そこでは換金可能でした！なぜ支店によって対応が違うのか・・・。窓口の方の知識の違いでしょうか？？
結果としては4万円の換金で手数料15ドルかかりました。そして直接現金は貰えず、10日後くらいに今持ってる口座に振り込むとのことでした。

今の時代、トラベラーズチェックを持って来る方は少ないかもしれませんが、アメリカンエクスプレスならどこの銀行でも換金できるので良いかと思います。