基本的に短期間のみの受け入れはその学校次第です。
住民票を入れたから大丈夫というのでもなく、引っ越して来てずっとその土地に住むという場合とは違う扱いになるのだと思われます。

お母様は短期間のみと説明されたので受け入れに慣れていない学校から断られたのではないかと思います。
そこを隠して(嘘をついて)まで受け入れてもらうのも子供のためにならないですよね。

私の経験上、公立よりも私立の学校、出来れば英語教育や短期留学等に力を入れている学校のほうが受け入れてもらえる可能性は高いです。
ご実家から通える範囲の私立学校に問い合わせてみてはいかがでしょう？
受け入れてくれる学校が見つかると良いですね。

上の方が書かれたように、住民票は関係ないと思います。
私は、小学校で6年間毎年子供の体験入学で入れていただいていたので、その延長で問題なく中学校も受け入れてもらえました。もし受け入れ先がある程度確定していたら、校長先生宛に手紙を書いて、子供さんの日本語の程度など説明し、学校に迷惑にならないことを強調されたらよいかもしれません。私は受け入れにあたり、「万一事故が学校で起きてもこちらの責任とします」というような書類？にサインさせられた年もありました。

我が家は問い合わせをしただけで、まだ行かせて無いのですが、むしろ、学校に通わせるときには住民票を入れないで下さい。と言われました。
住民票を入れて学校に通わせるとなると、正式な転入の手続きをしなければいけないからだそうです。学校側の書類手続きが面倒なことももちろんですが、市にも正式な生徒として登録するので、出席率やら時期によっては成績やら色々と面倒なことが増えるそうです。
住民票を入れていなければ、体験登校として受け入れが出来ると言われました。
私が問い合わせた学校は住民票を入れないでくれと言っていましたが、周りの友人にこの話をしたところ、入れないでくれと言われた人も特になにも言われてなく住民票を入れて学校にも通わせた家庭もありました。他には1ヶ月は困るけど2週間ならいいと言われた家庭もありました。
他の方も言われていますが、学校や校長先生の積極性次第なのだと思います。私の周りの友達にも断られたと言っている子がいます。自分の母校や、甥っ子姪っ子が通っている学校だと比較的受け入れてくれやすいようですよ。
ご参考になりますように！

一ヶ月なら、予定通り、住民票も移動して国民保険に入った方がいいと思います。
住民票を移動して、役所に行くと、学区にある学校へ通学する許可書？みたいなものがもらえます。自分から、学校に通わせるのでくださいと言えばすぐにもらえます。

学校側はこれがあればたとえ短期であっても義務教育なので、通学を拒否することは出来ません。一ヶ月は結構長い期間ですので、その間通学して、日本の教育を受けるのはすごく良いことだと思います。

住民票を入れる、入れないはお母様の判断だと思われますし、近隣の学校が自己の都合で拒否することは出来ません。楽しい滞在になるといいですね！

滞在中のその学校の行事などは把握していますか？
私の姪が通う市立中学校では１０月末に文化祭、１１月には市の学力診断テストと校内の中間テストがあると聞いたように思います。そうすると、先生は１１月は生徒の浮き立った気持ちが切り替わるようなテストを目標とした指導日程を組むことになりますよね。もしこのような事情があるなら、学校が体験入学生に消極的になるのも理解できます。お嬢さんも、一緒にテストを受けるように言われても困るでしょう。

日本のお母様が相手では学校側もおいそれと返事もできないでしょうから、ご自分で電話するのが良いと思います。もしかしたら１か月は無理でもある程度ならOKという返事が引き出せるかもしれません。若しくは上の方が言うような私立学校にも問い合わせると良いと思います。

義務教育だから住民票を入れれば学校側は断れない、というのはその通りだと思いますが、お嬢さんのためには受入に柔軟な学校に行かせた方が良いと思います。