Kiwibank 銀行の口座を持っていなくても Kiwibank のクレジットカードの申し込みはできるはずです。私は ASB のクレジットカードを使っていますが、引き落とし口座は ASB 銀行の口座を使っていません。
基本的にクレジットカードごとに引き落とし口座を設定することができます。そして毎月期日に Full payment することで、違う銀行の口座でも引き落とし手数料や金利が加算されることはありません。
毎月コンスタントに $1,000 前後の利用があるのであれば、年会費を払ってでも利用額に応じてポイントを貰えるクレジットカードの方がいいかもしれません。ポイントプログラムはクレジットカードごとに違うのでよく比べる必要がありますが、使い勝手がよさそうなのは ASB の True Rewards です。
銀行以外でもたとえば Warehouse などがクレジットカードを発行していますが、規模が小さいためか、メジャーにならないです。あとは AMEX がプロパーカードを発行しています。
マイレージについては知識がないので分かりません。