トピ主さんが必要とする治療によります。


公立病院内のDental Clinicは、入院患者の歯科治療や一般の歯科医で扱えない手術が必要なケースといった特別の事情に対応しています。

ですので、通常の歯科治療、例えばCheck up、X-ray、Filling、Clean、Root canal fillingなどには対応しません。

Greenlane Clinical Centreの場合、緊急で深刻な歯痛であれば「痛みの緩和」の処置はしてもらえます。
その場合、トピ主さんが公共医療を無料で受けられる資格を有していれば、費用はかかりません。
あくまでも救急対応なので、予約はできません。
緩和処置後は、一般のプライベート歯科医で治療を受けるように言われます。

http://www.healthpoint.co.nz/public/oral-maxillofacial-surgery/auckland-dhb-oral-health-service-regional/
詳しくはこちらを参考にしてください。