NZ Post には日付指定はないと思います。

クリスマスカードはクリスマスの前に届くように送るものですし（私には１２月初めからクリスマスカードが届き始めています。）クリスマス過ぎてから届くのは印象が悪いので、早目で良いから適当な頃に送っていいのではないでしょうか。

日本に住んでいた時に、普通のはがきを年賀状扱いで郵送したい時、切手の下のスペースに　年賀　と赤で書いて郵送していました。郵便局に確認したわけではありませんが、海外からのはがきでも　年賀　と書いたら、日本の郵便局が年賀状扱いにしてくれるような気がします。
それでも不安なら「元旦配達希望」とも小さく書き添えておくとか？