トピ主さんがお持ちなのは、Permanent Residence Visaですよね？
そうであれば、有効期限は「Indefinite」なので更新の必要はありません。
新しいパスポートに、移し替える手続きになります。
手続きは二種類あり、PRのラベルを新しいパスポートに貼ってもらう方法と、電子情報として登録する方法です。
後者の場合は、パスポートには何の記載もありませんので、イミグレーションが手続きを終えたパスポートを返送してくるときに送られてくる「PR保持者」であるという手紙を携帯する必要があります。
https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport
手続きについては、こちらを参考にしてください。

Feeや送付先については、https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/apply-for-a-visa/tools-and-information/tools/office-and-fees-finder
こちらのツールで調べてください。

検索するのは、「Transfer an eVisa to a new passport」もしくは、「Transfer a Visa label to a new passport」になります。

早速のご回答をありがとうございました。

パスポートを更新するのとPRのステッカー貼り替えを、同じように更新と書いてしまっていましたね。失礼しました。

仰る通り私はPRを保持しており、Indefiniteなので、NZ国内での滞在有無に関わらず問題なく貼り替えが可能ということなのですね。

オークランド領事館でパスポートを更新したらどのくらいの日数がかかるのかは、領事館に確認してみます。

ありがとうございました。