ご両親ともにワークビザとのことですが、公共医療補助の対象でしょうか？
（２年継続のワークビザを保持）
また、お子さんがNZで生まれたのであれば、産前産後のMidwifeによるマタニティーケアを受けられましたよね？
子供が生まれてから６週間は、Midwifeが自宅訪問してチェックしてくれるサービスです。
その後は、Midwifeが「Well Child」というプログラムの提供機関（Plunketなど）にリファーし、子供が５歳になるまで定期的にPlunket Nurse（乳幼児専門の看護師）が自宅訪問したり最寄りのクリニックで成長の様子などをチェックしてくれます。
Midwifeが「Well Child Health Book」をくれたはずですが、その中に予防接種のスケジュール表があり、接種を受けたらGPがサインするようになっています。

Plunket Nurseに聞くのが確実だと思いますよ。

補足ですが、乳幼児の予防接種は親のビザに関わらず無料で受けることができます。

生後６週間の赤ちゃんがパスポートを持っていないことは珍しくありません。
Birth Certificateを掛かりつけのGPに持っていけば予防接種が受けられます。
念の為、子供のBirth Certificateと一緒に両親のパスポートを持参したほうがいいと思います。
親子関係を証明するためですので、両親がすでにGPに登録していれば登録時にパスポート提出しているはずなので必要ありません。