クライストチャーチのイミグレーションは、窓口業務がなくなっただけで、オフィス自体がクローズしたわけではないです。
新しいパスポートに、PRのステッカーを貼りたいのであれば、【Application for Transfer or Confirmation of Visa】というフォームの記入が必要で、$110の費用が掛かります。
例えば、学校に入学とか病院からビザのコピー提出などを求められるケースでは、ステッカーのほうが便利かもしれません。
ステッカーなしの電子情報だけのTransfer(パスポートには何も貼られません)であれば、フォーム記入ではなく、個人情報、連絡先、PRのTransfer(Label-less)であることを明記したレターを新旧パスポートと共にクライストチャーチのイミグレーションに送付します。
これは【Label-less Visa】と言い、e-Visaとは違います。
Label-less Visaの申請は無料です。
https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport