送迎を頼まれている子の親がカーシートを用意すべきでしょう。
NZの法律で、７歳未満の子供はチャイルドシート又はブースターシートの使用が義務です。使用していなければ道交法違反で罰金＄１５０になります。（状況によっては最高＄１，０００の罰金）運転手の責任となります。

また、使用するカーシートはNZの安全基準を満たしている製品で、使用期限内（シートに刻印されています）であることも必要です。

私の周りのご家庭は子供の送迎をお願いするときは必ず子供と一緒にカーシートも渡してくれます。家にピックアップに行くときはその時に受け取っています。プリのピックアップを頼まれる時もプリの受付にカーシートを預けてくれます。kiwiの家庭で時々おばあちゃんがピックアップだけする家庭もいつも預けています。
うちは簡単に取り外しできるブースターシートを一個余分に持っています。
よそのお子さんを乗せる時も便利ですし、うちの子をお願いする時にも便利です。４０ドルとかで売ってる簡易的なものです。5歳以下の子には使ってないですが便利ですよ。

余談ですが、私はクライストチャーチ 在住なのですがクライストチャーチ ホスピタルが改装のために臨時駐車場が徒歩３０分くらいの場所にできた時、当初はカーシートを持参しないと子供は駐車場と病院間を走る無料送迎車に乗せないとなってました。結果、病院内をカーシートを持って移動するのか！！と問題になりすぐに取り消されました。
きちんと調べたわけではないですが、公共交通機関や許可を受けた車以外はカーシートは必須なのだと理解しています。
法律以上に子供の安全が大切なので預かる子供のご両親とも相談して受け渡しをしたらいかがでしょうか？？

ご回答ありがとうございました。
相手のご両親とよく相談したいと思います。