違反金の支払いは、オンラインバンキングでもクレジットカードでも、日本円の小切手でも可能なのですが、Notice Numberという違反切符（Infringement Notice）に記載されている番号が必要です。

トピ主さんの場合、既にNoticeは紛失してしまったようなので、そういった方法では支払う事ができません。
しかも、違反金の支払い期限（56日以内）を過ぎている場合、警察から違反内容が裁判所（Ministry of Justice）に送られ、もともとの違反金プラス裁判所費用が上乗せされます。

違反切符の内容を公開してもらう方法は、以下の二種類ではないかと思います。
https://forms.police.govt.nz/forms/police-infringement-bureau
こちらからメールでリクエストする。

http://www.police.govt.nz/contact-us/how-pay-infringement-fee/contact-police-infringement-bureau
もしくは、このページの最終にある、Infringement history request formを送付する。

電話で問い合わせても、本人確認ができないので違反内容は教えてくれません。

違反金の支払いは、オンラインバンキングでもクレジットカードでも、日本円の小切手でも可能なのですが、Notice Numberという違反切符（Infringement Notice）に記載されている番号が必要です。

トピ主さんの場合、既にNoticeは紛失してしまったようなので、そういった方法では支払う事ができません。
しかも、違反金の支払い期限（56日以内）を過ぎている場合、警察から違反内容が裁判所（Ministry of Justice）に送られ、もともとの違反金プラス裁判所費用が上乗せされます。

違反切符の内容を公開してもらう方法は、以下の二種類ではないかと思います。
https://forms.police.govt.nz/forms/police-infringement-bureau
こちらからメールでリクエストする。

もしくは、添付した違反歴の開示リクエスト用紙を送付する。

電話で問い合わせても、本人確認ができないので違反内容は教えてくれません。

http://www.police.govt.nz/contact-us/how-pay-infringement-fee/pay-police-infringement-fee

私もチケットをもらったことがあります。
しかし、違反金の支払いには個々に与えられた番号があるはずです。
それがわからないと支払いはできないと思います。