＞Watercareのサイトに行くと、tenantは、watercareに知らせる必要がない。 Property ownerがすることだと書いてあります。

その通りです。

上下水道のWatercareとの契約者は、テナントではなくオーナーです。
大家さん、電気代のように水道代もテナントが契約できると思っているんでしょうか？

トピ主さんの場合は、オーナーに毎月来るWatercareからの請求のうち、上下水道の使用量のみ請求してもらえばいいと思います。

Watercareからの請求書には、次の３種類の請求が含まれます：
１．Water Volumetric Charges
２．Wastewater Volumetric Charges
３．Wastewater Fixed Charges

このうち、３のFix Chargeは契約者に支払い義務があるのでテナントが払うものではありません。
これは借家賃貸法（Residential Tenancies Act 1986）に定められています。
http://www.watercare.co.nz/common-content/billing-and-payment/payment-responsibility/Pages/default.aspx
ちゃっかり請求書を丸投げしてテナントに全額を払わせている大家が居るので注意してください。

それから、トピ主さんが入居する前までの水道料は大家がWatercareに連絡して清算してもらいます。トピ主さんが前のテナントの使った水道代を払うことにならないためです。

元SSNZさま
回答ありがとうございます！
やはりそうですよね。
オーナーに連絡して、waterとwastewaterのみ請求してくれるよう伝えてみます。
ありがとうございました。

請求書ですが、大家さんからコピーをもらって（メールの添付とか）そのうちテナントの払う分を大家さんの口座に振り込むという方法でもいいと思います。
請求の全額は大家さんがWatercareに期日までに支払い、テナントから使用分を回収する、という意味です。