ご質問されたことに的確にお答えします。

①液体(ソース、ジェル状含む）の食品は手荷物として機内持ち込みはできないので、預け荷物(スーツケース、段ボールなど）に入れましょう。割れる危険性のあるものは、クッション材で破損防止をしっかりと。

②上記の理由で、スーツケースで問題ありませんよ。液体ではない食品は手荷物に入れても大丈夫ですが、食品を持っているとNZに着いた際、税関で荷物検査を受ける可能性が大なので、食品はすべて一か所にまとめて入れたほうが手間が楽でしょう。
持ち込み禁止食品についてはこちらを参考に
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http://www.nzembassy.com/ja/%E6%97%A5%E6%9C%AC/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%B8%A1%E8%88%AA/%E5%85%A5%E5%9B%BD%E3%83%BB%E7%A8%8E%E9%96%A2%E3%83%BB%E6%A4%9C%E7%96%AB