日本のパスポートでの入出国に問題はありませんが、NZに戻ってきた時にお子さんが90日の滞在期限でVisitor入国という扱いになります。

そうならないために、日本のパスポートに保持者がNZ国籍者であることを電子情報として記録してもらいます。
https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/my-situation-has-changed/live/im-now-a-new-zealand-citizen-but-travel-on-my-old-passport

こちらに詳しく書かれているので参考にしてください。