店舗やその時の窓口の担当者によってもしかしたら対応は違うかもしれませんね。
パソコンからインターネットバンキングを先に開設するとANZから一週間ほどでキャッシュカードが送られてきます。その書類を住所証明として持っていけば口座開設できるのではないでしょうか。