こんにちは。WordPressを使ってサイト制作を行っている者です。
担当デザイナーさんが対応に消極的とのことでご心配かと思います。ビジネス用途のサイトでは、費用削減を目指す場合でも、セキュリティやバックアップの管理は特に重要です。以下をご確認ください：

管理権限の確認
サーバー、WordPress、ドメインの管理権限がパートナー様にあるか確認してみてください。
もしご自身で管理を行う場合、別途サーバー契約が必要になる可能性があります。また、ドメインがデザイナー名義の場合、移管することをお勧めします。

プラグインのライセンス
有料プラグインがデベロッパーライセンスで提供されている場合、自分で管理するには個別ライセンスの購入が必要になる可能性があります。使用プラグインのリストを確認し、必要に応じて無料の代替プラグインが利用できないか検討みてはどうでしょうか。

セキュリティとバックアップの確保
自分で管理する場合でも、以下を最低限実施することをおすすします：
- セキュリティプラグインの導入・設定
- サーバー、WordPress、テーマ、プラグインの定期更新
- バックアップと復元テストの実施

再構築について
質問文からはすべてを判断できませんが、月額費用を抑える形で再構築することは十分可能と考えられます。

詳細な状況が分からないため、一般的なアドバイスになりましたが、お役に立てれば幸いです。