こんにちは。メカニックのことは分からないのですが、一つの案として聞いてもらえればと思います。
私も車が動かないときに、自分でお金を払って車を修理工場へ移動させることばかりを考えていました。それって、すごく高いと思うんです。
それなら、AAのサービスに頼む方法があります。日本でいうJAFみたいなものです。本来は会員なら会費を払っていれば年に何回か現地へ修理に来てくれます。会員でなくても少し割高になりますが現地へ来てくれてその場で直してくれます。バッテリーのチャージも新品への交換(有料)もお手のものです。それ以外の原因で修理工場へ運ぶ必要があるならそれもAAがやってくれます。それについては調べたことがないので、会費の中に費用が含まれているかは分かりませんが、AAに頼まなくてもレッカーが必要なので無駄なお金ではないと思います。
確か、依頼をした時に電話か、スタッフが来たときにその場で会員に入れると聞いたことがあるので、確かめてみるのもいいと思います。
こういう情報は他の人も知らなかったりするので、情報を共有出来たらと思い書き込みしました。
確かAAメンバーロードサービスったと思います。0800 500 222

バッテリーを外して、近くのこのようなサービスに持って行くこともできます。
私は利用したことがないので、まずは店に電話で相談してみて下さい。
(我が家は他の車があるので店との往復が簡単にできますが、トピ主さんは持って行くだけでも手間とお金がかかるのかもしれませんね。そのことも考えて決めるといいと思います。）

https://www.supercheapauto.co.nz/services/in-store-services/battery-solutions

私も車を購入したての時に室内ライトを付けっぱなしで3日置きっぱなしでバッテリーがあがってしまったことがあります。

バッテリーが問題なかったのであればチャージをすれば元に戻ります。ジャンプで始動させて１時間くらい走って下さい。バッテリーは走る事でチャージされます。それでもエンジンが掛からないようでしたらバッテリーを交換するしかありません。

他車と繋いでいる時に少し反応するということですが、
エンジンはかからないってことですか？

Annaさんの車が大きめの車(特にディーゼル車)で、繋いだ相手が小さな車でしたら電流が足りないのでかかりません。

また、カチッというだけでエンジンがかからない場合、スターターのソレノイドの場合もあります。
メカニックが見ればすぐ分かりますが。

バッテリー自体が大丈夫かどうかは、電圧計で確かめることも可能ですが、まずはエンジンかけて満充電させないといけません。

回答いただいた方々、ありがとうございます。
故障車はコンパクトカーでレスキュー車はエスティマです。はじめにケーブルをつなげてジャンプスタートを試みた際に繋げ方に順序があると知らず、何度も試してしまいました。つい昨日教えていただいた手順通りに試してみたところ少し反応はするものの、エンジンはかかりません。バッテリーの表示も以前はきれいな緑で”OKAY"の表示でしたが何度も試したせいか１／４程度まで減ってしまい、今はほとんどが黒表示で”CHARGE"に変わってしまいました。バッテリーはどうやら１年ほど前のもののようなので、バッテリーチャージャーを手に入れて試してみる予定です。