今年NZの永住権を古いパスポートから新しいパスポートにトランスファーしました。
その時点での話になりますが、在日のNZ大使館ではその業務を現在取り扱っておらずイミグレーション指定の「Receiving centre」を通してのみ手続きが出来るということでした。日本国内では東京にあるVFS Globalという業者がそれにあたります。


NZ Immigrationウェブサイトの"Fees, decision times and where to apply"というページに案内があります。
https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/apply-for-a-visa/tools-and-information/tools/office-and-fees-finder

ここのページ下方で

Transfer a visa label to new passport
か
Transfer an eVisa to a new passport

を選び、国籍、申請場所を選ぶと、どこでどうすればいいか案内が出てきます。
日本を選ぶと先ほどの業者へのリンクがあります。そのページに飛ぶと日本語で案内があります。質問等すると親切に教えてくれました。

eVisaはシールでない電子ビザなので、これを選ぶとイミグレーションに払うお金は無料ですがこの業者への手数料（5400円）とパスポート返送料（1980円）はかかります。自分で取りに行く場合は返送料はかかりません。

ただ、メールで送られてくるA4サイズのプリントアウトを証明書類としてパスポートと一緒に携帯する必要ありなので煩わしい場合は、シールを貼ってもらうタイプのビザを選べます。その場合上記の業者に払う手数料、返送料の他にプラス130ドル（約一万円）をイミグレーションに払うことになります。