＞私は別れに応じるつもりはありません。

お気持ちは理解できますが、NZの法律では離婚の際に双方の同意は必要ありません。
何年一緒に居ても、婚姻していても同じです。
一方が別れると決めて家を出てしまえば、その日から２年後には正式に離婚が認められます。

二人のお子さんの養育費（Child Support）は子どもの父親（Parent）に支払い義務があります。
現在のパートナーは子供のParentではないので、養育費を支払う義務はありません。
もしも裁判所を通して正式に養子の手続きを取っていれば、裁判所の判断になると思いますが。

＞もし、彼が家を出たとして、私達は今の家に残って生活をする権利はあるのでしょうか？

De factoでも５年一緒に生活していたのであれば、婚姻関係と同等の権利があります。
今の家が誰の名義であっても、一緒に暮らすようになってから購入した不動産はRelationship Propertyになり、離婚の際には折半になります。
ただ、ローンが残っている場合、パートナーが住まない家のローンを払い続け、トピ主さんと子供を住まわせるという寛大な方であれば別ですが、多くの場合は、家を売却してローンを返済し、残りを折半が一般的です。

トピ主さんがシングルマザーとして生活するための生活費は、Work and Income NZのベネフィットと、IRDからのFamily Tax Credit申請になると思います。

ご丁寧な、回答をありがとございます。

2年別居を続けた場合、離婚が成立となる事は、知っていましたが、例えば、離婚が、成立するまでの間も、パートナーには一切生活費を支払う義務は、ないのでしょうか？

私が今の家に住み続ける事は無理なのでしょうか？

別居も、例えば週末は行き来する様な関係を続ける事ができる場合は。
日本でいう単身赴任の様にはならないのでしょうか？

何も分からず、ただパニックに近い状態です。

それと、まだ一緒にカウンセリングなどは受けてくれる意志はあるのですが。

よろしくお願いします。