トピ主さんも婚約者も永住権保持ということですよね？

トピ主さんがすることは特にありません。
入籍後にお相手の苗字が変わるという事は、パスポート名義の変更など必要になりますので、新しいパスポートへのVisa Transferの際に名前が変わった理由と証明を提出します。
https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport

7月4日以降、イミグレーションはビザのラベル発行を廃止したので、ラベルレスしかありません。
https://www.immigration.govt.nz/about-us/media-centre/news-notifications/visa-labels-no-longer-issued-with-visas

ご回答ありがとうございます。
大変助かります。

私は永住権を持っておらずパートナーのみですが、やる事は変わらないと思ってよろしいでしょうか。
また、手続きはどこに行けばよろしいでしょうか。
（日本国内のニュージーランドビザ申請センターか、パスポートセンターで良いか等）

尚、パートナーはニュージーランドにある日本大使館でパスポートを作ったそうです。
その場合、１つ目のURLの下部「If you are a～」の項目に該当しますでしょうか。
（日本で作っているのと同じ扱いになるかなとも思っておりますが、念のため）

ご結婚おめでとうございます。
前置きとして私の場合でのお話をさせて頂きます。
私の場合は移民弁護士さんを利用させて頂きました。
永住権保持者と日本で入籍されて、その日本での入籍証明をニュージーランド国内で出来たとしてもトピ主さんには永住権はおりないのではないかと思います。
トピ主さんがニュージーランド国内で滞在できるビザを現在保持していない場合、
先ずは婚約者さんをサポーターとしてパートナーシップのワークビザと永住権の2つをニュージーランドイミグレーションに申請する事になると思います。
それからニュージーランド国内で1年以上の同棲生活とその内容、同名義の口座や友人などのサポートレターなどの証明が必要です。
申請後からはイミグレーションからのインタビューやIELTS受験などを経て、長くひたすら待ちようやくおりるのではないかと思います。
トピ主さんと婚約者さんの今までの状況が見えないので詳しくはわかりませんがニュージーランドでの移民弁護士さんでの相談が1番良いのではないかと思います。