＞賃貸契約は口頭でも書面でも契約になる、と理解していますが

全ての賃貸契約は、書面で交わす必要があります。
トピ主さんの言わんとしているのは、「口頭の契約であっても、賃貸法は適用される」という意味で、口頭でも書面でもどちらで良い、というのとはちょっと違います。
口頭の契約というのは、例えば家族や親せきが住む場合や、友人が一時的に滞在といった場合には融通を利かせるケースもありますが、正式な賃貸契約では聞いたことがありません。

Every tenancy agreement must be in writing, and the landlord must give the tenant a copy before the tenancy begins. However, the Residential Tenancies Act applies even if a tenancy agreement isn’t in writing.

前のオーナーは、正式に賃貸契約をしていない可能性が高いです。
確かに書面でなくとも法律でカバーされる、とありますが、口頭で（しかもトピ主さんとではなく前オーナーと）交わした内容を証明するのは簡単ではありません。
例えば、テナントが退去したくなくて「契約はFix-Termだ」と言い出したら、90日ノーティスは使えませので、トピ主さんがPeriodicだと証明することになります。
現在のテナントに「責任者」が居ないことも不安要素です。
家族以外の複数人が住む場合には、全員を連名で契約するか、一人が契約しヘッドテナントとして責任を持つか、という方法が一般的です。
現在のテナントが、常識的で理解のある人たちだといいですね。

言った言わないの問題を避けるためにも、契約書は絶対に書面で交わすべきです。
次のテナントを入れる際には熟考ください。