詳しいご回答誠に有難うございました。

日本と比べると、がん検診の種類も少なく、GPの許可が無ければ前立腺の検査もできないようなので、不便だと思いますが仕方ないですね。
世界保健機関の最近のランキング(http://www.who.int/healthinfo/paper30.pdf )によれば、日本は世界第１０位、NZは第４１位ですが、その差がよく表れていると思います。

癌の場合、気付いた時はもう遅すぎることが多く、この国にいる限り早期発見は難しそうなので致命的な病気に罹らないことを祈るのみです。早く日本に永住帰国できたらいいなと思います。

NZ政府が行うがん検診は、乳がん、子宮頸がんと大腸がんです。
乳がんは４５歳から６９歳、子宮頸がんは２０歳から７０歳、大腸がんは６０歳から７４歳が対象になります。
https://www.nsu.govt.nz/

日本では安価で検診が受けられるのに、受診率は非常に低く、例えば子宮頸がんの検診の受診率（２０歳から６９歳）は３３．７％と、２２のOECD加盟国中最低です。
NZの場合、今年９月の統計で子宮頸がん検診率（２０歳から７０歳）は７４．８％と非常に高くなっています。目標は８０％なので、もう少しですね。

NZでは、上記３種類のがん検診は国が対象者に対して無料で行いますが、他の種類のがんについてはリスクの高いと認められる人が対象になります。
例えば、４５歳未満でも母親や姉妹に乳がん患者が居れば、ハイリスクとして検査を受けることができます。公立病院で行う検査は無料です。
トピ主さんの家族に特定のがんを患った方がいるのであれば、ぜひGPに相談してください。

男性の場合、５０歳以上では前立腺のチェックを推奨しています。
GPで診察料はかかりますが、そこでGPが検査が必要と判断すれば公立（医療保険加入であれば私立）での精密検査に紹介します。

まずGP、というのがNZの医療システムです。
日本の感覚ではじれったいかもしれませんが、健康上の不安はGPと相談してください。