皆さまお忙しいところありがとうございました！
とても参考になりました！

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現在は、Non-residenceのIRD番号申請には、NZの銀行口座が必要です。
申請用紙の中に、「Fully functional New Zealand bank account」という口座番号を記入する欄があります。
また、「Taxpayer Identification Number (TIN)」という質問があり、ここにマイナンバーを記入することになります。
マイナンバーを持っていない場合は、なぜ持っていないか記入する必要があります。

NZで働くのであれば、IRD番号は必要ですし、恐らくマイナンバー提示せずに済む方法はないのではないでしょうか？

ワーキングホリデーで来られて、少しでも NZ で働くことを考えているのであれば、こちらの IRD 番号という納税に必要な ID を取得して登録することをお薦めします。銀行にとっては IRD 番号か、他の国の ID が登録できれば問題ないという姿勢だと思います。