Tenancy Serviceに相談することをお勧めします。
まず、大家はテナントに対し、退去の際に業者によるカーペットクリーニングを強制することはできません。カーペットは「リーズナブル」に綺麗になっていればよいのです。例え、Tenancy Agreementに業者を使えと書いてあっても無意味です。
Residential Tenancies Act(借家賃貸法)に:
Clauses likely to be deemed unenforceableとして
Carpets must be professionally cleaned at the end of the tenancy.
A tenant already has a responsibility to leave the house in a reasonably clean and tidy condition. This could be seen as asking a tenant to do more than required.
ましてテナントの同意なしに勝手に業者による清掃の請求をしてくるというのは、法律に違反している可能性が多大です。
https://tenancy.govt.nz/disputes/mediation/
まず、こちらのメディエーション(仲介)を依頼して、大家との間に入ってもらって話し合いをしてはどうでしょうか?
https://tenancy.govt.nz/about-tenancy-services/contact-us/
こちらが連絡先になります。
この中にも記載されていますが、もしも英語に自信がないのであれば無料の電話通訳Language Lineを利用することができます。