現在は、全ての銀行で本人確認のできるID（例：パスポート）と、Proof of address（住所を証明するもの）がないと口座開設はできません。
マネーロンダリングといった犯罪を防ぐ為に定められた規定なので、XX銀行なら。。。といった例外はないはずです。

オークランドでの２週間は、滞在先は決まっているのでしょうか？
バックパッカーズ、モーテル、ホテルなどの宿泊施設を利用されるのであれば、そこでトピ主さんが滞在しているというレターを書いてもらう事ができます。
そのレターをProof of addressとして使う事が出来ます。
また、口座開設時に、ネットバンキングと残高明細の発行をストップするように設定できます。
長期滞在先が決まったら、銀行に連絡して住所変更をすればいいと思います。