日本の戸籍を変えてないということなのでお子さんは日本の戸籍をとるのであるならトピ主さんの日本の戸籍の苗字になります。
トピ主さんの日本の戸籍での名前が「山田花子」で、お子さんが「ジョン山田・スミス」であるならお子さんが日本の国籍をとるのであるなら日本の戸籍では「山田ジョン」です。もしかしたら「山田ジョンスミス」もいけるかもしれません。

我が家もNZのBirth certificateと日本の戸籍の名字は違います。
NZのBirth certificateは夫、日本の戸籍は私の苗字です。
日本の国籍をとるためには私の戸籍に一度入らないといけないらしく、そのため出生届のときにNZの出生届の名前と違う旨を日本の出生届に書いて提出しました。

面倒くさいのは移民局でして、「どうして一人に二つの違う苗字があるのか?」ということで理解ができないらしく、なかなか日本のパスポートにEndorsementを発行してくれないスタッフもいました。「そんなのありえない!」と何度も追い払われましたよ･･･我が家は･･･。運よくミドルネームに私の苗字を入れていたので5回目くらいに行った移民局で許可がでました。

国際結婚で生まれた知り合いの子はお母さまの苗字を使っていましたが、10歳のころに家庭裁判所に変更届を申請して戸籍を分離して戸籍上もお父さまの苗字にかわってましたよ。