車は、NZの運転免許を持っていなくとも所有することができます。
ただし、名義変更の手続きをオンラインですることはできないので、MR13Bというフォームを記入して、AAなどのエージェント窓口で手続きすることになります。

現在、日本の運転免許とその翻訳で運転されているようですが、NZ入国してから12か月未満しか、この方法で運転することはできません。
12か月以上滞在を予定しているのであれば、NZの免許を取得してください。

トピ主さんのケースでは、一度免許が失効しているため取得日が変わってしまいました。日本の免許は、取得して2年以上経過していれば筆記も実技も免除でNZの免許が取得できるのですが、トピ主さんの場合には、取得して2年経っていないことになってしまうので、実技免除にはなりません。