Child of a Worker Visitor Visaというビジタービザを申請します。
それにはまず日本のパスポートを取得する必要があります。

https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/apply-for-a-visa/about-visa/dependent-children-of-work-visa-holders-visitor-visa

ワークビザの種類や所得によってはこのビザをサポートできない可能性もあるので、上記サイトより確認ください。

ご出産おめでとうございます‼

特にNZを離れる予定がなければ、Request for Statement of Immigration Statusを取得する方法もあります。私の時は申請料もかかりませんでした。申請書の説明書きによれば、パスポートも必要ではないようです（ご自身でご確認お願いします）。
→https://www.immigration.govt.nz/documents/forms-and-guides/inz1137.pdf

なお、日本へ里帰り等の際にはVisaを取得する必要はあります。


私が出産後にした手続きについて書いてあります。念のため、リンク先を貼っておきます。ご参考まで...

→　http://kapainzblog.blogspot.co.nz/2016/12/nznz.html