のんさん、ありがとうございます。ほかにも同じ経験者がいるととても安心します。やはりもっと英語環境の時間を今の週20時間から長くすることを考えてみます。

元SSNZさん、ありがとうございます。私もこちらの質問をする前にググってみましたがうまくヒットせず。。。参考にさせていただきますね。

ちょっとググってみたら、LCF Fun Language Clubという教室が2歳から入学できるようです。

https://lcfclubs.co.nz/learn-english/

他には、Private Tutorという選択もあります。
http://www.languageinternational.co.nz/courses-english-auckland-new-zealand-kids-19584

個人的には、まだ4歳なら英語力の心配はいらないと思いますが、個人差がありますからね。
お母さんが一番自分のお子さんの事をわかっているので、例えば引っ込み思案で、英語力がそれに拍車をかけるようであれば、小学校に上がる前に上達させたいという気持ちもわかります。
LCFは、トライアルもやっているようなので、試してみてもいいと思います。

我が家もそうでした。
（夫は非英語圏出身ですが日本語を話します。）
週約３０時間プリスクールに通いました。
（基本自分から話そうとしない子なので困りました。）
現在小学校低学年。おしゃべりの子ではないので、どうなんでしょうね。
小学校で飛躍的に伸びたのは確かです。自然な英語を使います。
少しずつ進化しているのはわかります。

お子さんはキンディーに通ってどのくらいですか？1年だけですか？
週２０時間だけですか？
お子さんが元気に満ち溢れてもっと通っても大丈夫そうなら追加料金を払って申し越し長く英語環境にどっぷりつかるようにキンディーで遊ぶようにしたらいかがでしょう？もっとプレイデートをしたり。。。
我が家は４歳の誕生日までは週２４時間くらいで、５歳の誕生日までは小学校と同じように３０時間近く通わせました。その変化でも違いは出ました。

お答えにはならずすみません。