２年ほど前、ＮＺから日本に猫を連れて帰りました。
もしかしたらお役に立てるかもしれませんので宜しければメールいただければ幸いです。

私達の経験は少し前なので、最新をかかりつけの獣医さんか動物専門の輸送会社に相談すると良いかもしれませんが、

まずは日本側の受け入れに必要な書類や手続きを確認。
それをもとに、獣医師のところで、マイクロチップ、Health Certificateなど、日本の動物検疫が求めるものを準備。
Animal Welfare に適合したクレート　(動物輸送を専門に取り扱う会社が準備してくれます)が、輸送に必要だと思われます。猫の大きさや体重を確認必要だったと記憶してます。

私達は、その昔、NZから、ニューヨークに猫と引越ししたのですが、引越し業者に業者を紹介してもらい、見積もりを出してもらいました。

NZから猫を日本に入れる場合、検疫期間はないと思いますが、それも含めて、再確認されることをお勧めします。