求職者への補助、Jobseeker Supportが日本の失業手当に近いと思います。

移住者の場合は、Residence Visaを取得してから「最低でも２年間継続的にNZに住んでいた」という申請条件があります。継続的にというのは基本的にNZを離れず、ずっと国内に居たという意味です。10日間ゴールドコーストに遊びに行っていた程度であればOKの場合もありますが、4週間里帰りしていた、という場合にはこの条件を満たしません。
また、トピ主さんのResidence VisaがSkilled Migrant Categoryであれば、ビザ申請の際に最初の２年間は経済的な国からの補助を受けないと同意し宣誓していますので、その間は失業手当は申請できません。
https://www.workandincome.govt.nz/products/a-z-benefits/jobseeker-support.html#null
こちらを参考に申請条件をチェックしてください。

例えば退職が自主的（依願退職）だった場合、支給開始まで最長13週間の据え置き期間があります。
それと、Jobseeker Support申請すると、求職セミナーへの出席といった義務があり、何度か呼び出されますので、申請してすぐに支給されるわけではありません。
これも上に貼ったリンク内に説明されています。
ですので、トピ主さんが申請条件を満たす場合、できるだけ早く最寄りのWork and Income NZに出向くことをお勧めします。

ありがとうございます
開始まで１３週間ですか、、その間に新しい仕事が見つかりますね。
３週間程度と考えていたんですが。。
求職活動に勤しみます

とても役に立ちました。ありがとうございました。