トピ主さんが、既に永住権保持者の場合（ビザの為の職探しではない）としてお答えします。

ニュージーランドには、Social Workers Registration Board（SWRB)という機関があり、ソーシャルワーカーの登録を管理しています。
看護師がNursing Councilに登録して「Registered Nurse」として働けるのと同様に、ソーシャルワーカーが「正規のソーシャルワーカー」として認められるには登録が必要になります。

＞勤務先さえOKであれば特に資格等は必要ないのでしょうか？

勤務先によっては、未登録のソーシャルワーカーを雇う所も以前はありましたが、近年は求人でも「Registered」と特定されているようです。
未登録の雇用は、Community Workerなど、ポジション名が違うのが一般的です。

海外のSocial Workの資格（最低でもBachelorレベル）が、SWRBの条件を満たしていて、NZに住んで１２か月未満であれば海外資格でも登録が可能です。

トピ主さんが、NZに移住して１２か月以上経過しているのであれば、NZでSWRBの認定する学校・コースで資格を取ることになります。
http://www.swrb.govt.nz/new-applicants/recognised-qualifications
こちらが、SWRBの認定する学校のリストです。

また、トピ主さんの持っている資格と経験はサイコセラピストですが、それがSWRB登録で認められるかはアセスメントしてもらえます。
http://www.swrb.govt.nz/new-applicants/non-binding　

海外資格からの登録で、一番苦労されているのは英語です。
IELTSのアカデミックで全科目７以上が求められます。
SWRBの認可するコースを卒業していれば、IELTSは免除です。