いまひとつ明確でない部分があるのですが..．

その女性は、10年前に旦那さんと共に移住したのでしょうか？
そして夫婦共に外国人、ということでしょうか？

３年位前に離婚するまで約7年の間、夫婦共にテンポラリービザで、その期間内に旦那さんは永住権を申請しなかったのでしょうか？
申請していれば、その女性は配偶者として含まれていたと思います。

まず不法滞在と違法就労についてです。
その女性がNZで働けるビザを持たずに働いている場合、雇用主に対し懲罰があります。
雇用の際に労働者のビザステータスを確認するのは雇用主の義務なので、知らなかった、というのは理由として認められません。
知らずに雇っていた場合の罰則は、$10,000以下の罰金です。
もしも、ビザの事を知っていたにもかかわらず雇っていたのであれば、$50,000以下の罰金になります。
しかも、雇用主が労働者がビザを持っていないことに付け込んで、最低賃金以下で就労させるなどの行為があれば、最高$100,000の罰金と最高７年の禁固刑のどちらか、または両方が懲罰となります。

子供の出生届について。

NZでは、出生届は法によって親の義務とされます。
出生より２か月以内に、届を出す必要があります。
子供の年齢が不明ですが、学校への入学手続きにも出生届やパスポートの提出を要されますし、将来的に非常に不安な状況であることは確かです。
病気になっても医者に連れて行けない、学校に行かせられないという事になれば、最悪の場合はネグレクトとして母子が引き離されることにもなりかねません。

不法滞在が見つかった場合について。

有効なビザのない状態で滞在すればオーバーステイ、不法滞在となります。
移民局に見つかれば、退去命令が出ます。
通常は、期限を設けられ、その期間内に自主的に退去するように、という柔らかめの通知が最初にあると思います。
その期間内に退去せず、その命令に対して異議申し立ての申請もされなかった場合、移民局と警察によって逮捕、強制送還となります。
強制送還されたら、最低でも5年間はNZに再入国することは認められません。

上の方が言うような「ＮＺ人の元旦那の子供であれば、認知してもらいその母親であるということで、国からビザがでるという制度もある」という事実はありません。

トピ主さんの文面では、子供の父親も外国人で、子供が生まれた時点では永住権を持っていなかった、という印象ですが、明確ではありません。
仮にもし、子供の父親がNZ人あるいは、永住権保持者であれば子供はNZ国籍を与えられます。（当然、出生届を出せば、ですが）
それでも、その母親だからという理由で、NZに滞在できるという種類のビザはありません。
子供が生まれたのは、旦那さんと別れる前でビザもあったはずです。
出生届は無料ですし、提出しない理由が理解できません。

こういったケースは実はすごく珍しい訳ではないのです。
ビザが切れた時点で、どうしてよいかわからず、かといって生活に特に変化もなく、段々と麻痺するんでしょうか。
今は不法とはいえ仕事や新しいパートナーとの暮らしもある。
このまま何事もなく生活していけると勘違いしてしまうんでしょうね。