突然の訃報に戸惑っていらっしゃる事、ご心痛お察しいたします。

https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport
上のリンクの
Outside New Zealand
If you are applying to transfer your eVisa or convert your visa label to an eVisa, you can use certified copies of your passport.

Applications with certified copies can be sent to your nearest New Zealand Visa Application Centre (VAC).
で申請できると思います。日本のApplication Centreは以下の通りです。
https://www.immigration.govt.nz/contact/offices/japan

New Zealand Visa Application Centre
Edificio TOKO Bldg.
4th Floor, 2-3-14 Higashi-shinbashi
Minato-ku
Tokyo 105-0021
Japan

Certified copyは確か東京のNZ大使館で有料でやってくれたと思いますが、上記のCertified copiesで国外で申請できるという事は何らかの形での証明が出来るはずです。昔の記憶ですが、日本の弁護士に英文でTrueCoptyと証明してもらえたと思いますが不確かです。

お時間があるのなら、以下のサイトでお住いの近くのJPを探されてCertifyCopyしてもらったものを日本に持っていき、日本で申請するのが一番確かだと思います。JPは日曜日でもやってくれる人もいるので、電話して緊急と言ってお願いするのが一番良いのでは、と思います。
https://justiceofthepeace.org.nz/Page/Search

お母様のこと御愁傷様でした。
お気持ちお察しします。

私も先日新しいパスポートをとり、
ビザの移行の手続きをすましたところです。
私は eVisa を選択しました。
手数料が無料で、早いとあったので。

古いパスポートと新しいパスポートのコピーをとり、JP(Justice of the Peace)にサインしてもらいます。ビザのページもとる。
用紙をダウンロードして書き込み。
合わせておくる。

Transferring my visa to a new passport
でググると出てきます。

eVisa はメールで発行されるそうなので、必要書類を送ってしまえばあとは待つだけです。

日本からも手続き出来ます。ただサインをどこからもらうのか調べてみてください。Your home country とあるので、弁護士、公証人、裁判所、(JP は日本にないですよね)からのサインが公的に認められます。

どちらにお住まいか分かりませんが、待つのは嫌ですが、月曜日にJP もしくは JP がいるCAB もしくは図書館を探して、サインをもらえば半日かからないと思います。　

でも日本にすぐ帰りたいですよね。

全てがスムースにいくことを祈っています。
用紙の書き込み等で、確認したいところが出てきたらメール下さい。

夜遅くごめんなさい。

HALさん、ありがとうございます。
その通りです。土曜日なので相談したいところは
全部閉まっていて......。
まだ答えは出ていませんが、なんとか日本に行けるようにしたいです。

tnyts517さん、ありがとうございます。
そうですね、日本についてから起こるかもしれない問題について考えるべきかなとは思うのですが.....。こわいですけどね。
帰ってこれなくなると困るし......。まだ考え中です。

お母様が亡くなられたとのことご愁傷様です。このような時に本当に辛いですね。

問題は、新しいパスポートがトピ主さんの永住権ビザに紐付いていないため、空港でのNZ出国手続きの時に問題になるのではということかと思います。（他にもあるのかもしれませんが、今私が思いつくことはこれぐらい）永住権がある古いパスポートを見せれば済むだけの話なのかどうか、正直、私にはわかりません。もうご覧になったとは思いますが、Immigration NZの説明では、ビザのトランスファーをしてから新パスポートを使うように求めています。

https://www.immigration.govt.nz/new-zealand-visas/already-have-a-visa/transferring-my-visa-to-a-new-passport
If you have renewed your passport, you need to transfer your valid visa into your new passport before you use it to travel. This applies regardless of whether you have a physical visa label or an eVisa.

イミグレが無理なら航空会社にでも、イミグレアドバイザーでも、空港にでも、問い合わせができると良いのですが。なにも具体的にアドバイスできず申し訳ないです。無事に日本に行くことができますようお祈りしております。

こんにちは。
同じNZに住む者として　日本の家族に何かがあったなんて、想像するだけで悲しくなります。お気の毒さまです。
私であれば、すぐ日本に渡航します。　日本についてから、NZへのビザのことを考えると思います。
Air NZ の Compassionate faresをご存じでいらっしゃいますか。

https://www.airnewzealand.co.nz/compassionate-fares